逆向物流累积批量处理库存控制模型

本文在允许消费者退回产品由销售商和制造商共同参与处理的条件下，构建了一个逆向物流累积批量处理的库存控制模型，得出了此条件下的最佳批量处理量及其成本。

一、引言

逆向物流是指对原材料、加工库存、产成品，从消费者到制造商的过程。逆向物流主要包括退货物流和回收物流两部分。由于逆向物流领域存在潜在利润，所以不断有新的企业开始涉足包括废旧物品的回收等逆向物流领域。该领域的重要性使国内外不少学者对其进行了深入和广泛的研究。在逆向物流研究领域中，库存控制研究是主要的研究内容之一，已取得了许多研究成果。

Simpson（1978） 第一个明确地将正常产品库存和回收产品库存分开考虑，构建了在没有固定成本和时间限制的情况下对订购、回收和最终处韶关到伊春物流理进行控制的最优策略模型。Fleisehmann（2002）等提出了一个基于需求和回收都服从独立泊松分布的基本库存模型。Mahadevan（2003）等对一个有旧产品回流的制造企业进行了研究，采用推动式的库存控制策略，并基于传统的库存模型采用了启发式算法进行建模，给出了模型最优解近似的上下界。Kiesmuller（2003） 对新产品的订货电荷旧品的处理点不同且订货提前期不同的产品修复随机库存模型进行了研究。黄祖庆、达庆利和王冬冬（2004） 提出了逆向物流具有时滞的一个EOQ扩展订货模型。赵道致（2007）等构建了一个退回产品全由销售商处理的逆向物流批量处理的库存控制模型。

上述大部分研究都得出了考虑逆向物流情形时的最佳订货量，但都是在假设退回品经过销售商处理后完全作为新产品，再直接进入正向物流的流通。该假设存在一定局限性，因为很多产品回收是在制造商和销售商共同参与的情况下完成的。赵道致（2007）的研究成果虽然考虑了退回品的批量处理和退回品处理后的折扣销售，但是整个退回品的处理过程没有制造商的参与，这也是与企业的实际运作情形不相吻合的。事实上，随着市场竞争的日益激烈，越来越多的生产企业为了树立良好的社会形象和提高自身利润，自发的参与到逆向物流的运作中，并主动承担退回产品的处理费用。因此，由销售商独立处理全部退回品是不切实际的，在同一条供应链上的制造商和销售商共同参与退回品的处理更符合现实情况，这也是本模型建立的意义。在考虑制造商参与逆向物流处理情况下，对赵道致（2007）模型进行修正，并在最终算例测试中，对两个模型求解结果进行了比较。

二、模型建立

根据如图1所示的基于逆向物流的库存控制模型。假设销售商在一个退货周期内，允许消费者退货，且消费者对产品的需求与退货无关，都服从泊松分布韶关到和田物流；制造商自愿参与到退回品的处理过程中，并愿意承担退回品的处理费用。假设退回产品达到批量Q1，部分可以经过简单处理即可使用的由销售商直接处理，部分需要由制造商经过再生产制造处理方可进行正向物流，比率稳定。不考虑消费者退回率变化对需求的变化，且不考虑库存维持成本中的资金成本和在途库存成本。

图1 基于逆向物流的库存控制模型

1、基本假设和参数符号

模型的基本假设如下。一是消费者对产品的需求服从参数d的泊松分布。二是逆向物流产品的到达服从参数为λ的泊松分布。三是销售商可直接处理的退回产品占总退回产品的比率为λc，修复后可按新产品一定的折扣系数销售（α<1），且不影响消费者对产品的需求。四是需由制造商进行再生产制造的退回产品占总退回产品的比率为λp，修复后可按新产品一定的折扣系数（β<1）给销售商，且λc+λp=1。五是不允许缺货，即不考虑缺货成本。其中，假设四意味着退回产品总数量正好等于销售商的简单处理量和制造商的处理量之和。

相关参数符号意义如下：T：退回品的处理周期；C0：销售商每次对退回品进行批量处理的固定成本；Cc：销售商对单位产品的修复成本；C韶关到青海海南物流00：销售商每次订货的固定成本；h1：单位数量退回产品的单位时间库存成本；h2：单位数量产品的单位时间库存成本；p：单位产品的订购价格；n：整个订货周期内退回产品的批量处理次数；K（t）：时刻t的合格品库存水平；Xi：为第i个产品的到达时间；Tj：退回产品第j次处理结束时刻，其中T0=0。

2、累积批量处理的库存控制模型

累积批量处理是指退回的产品每累积到某固定数量，就集中处理一次。由于退回产品的到达是随机的，建模的目的就是要计算出使单位时间内订货总成本最小的订货数量Q和退回产品的累积处理批量Q1。其中总成本包括：整个处理周期内的库存成本（包含合格品库存和退回产品库存）、退回产品的修复成本和订货成本。

（1）库存成本。综合上述假设条件可得出：

K（t）=Q-dTi-1+（i-1）Q1λc-d（t-Ti-1）Ti-1≤t≤Ti；j =1，2，…，n

整个退货处理周期内的合格品库存成本Cnt1期望值为：

E（Cnt1）=（1）

退回品的库存成本Cnt2期望值为：

E（Cnt2）=nh1［-Q1λp］（2）

（2）退回产品的修复成本。退回产品累计到Q1的修复成本C01等待修复期间的库存成本C1的期望值分别为

E（C01）=C0+CcQ1c+pQ1（1-α）-pQ1p（1-β），

E（C1）=n［C0+CcQ1c+pQ1λc（1-α）-pQ1p（1-β）］（3）

（3）订货成本。订货成本C10的期望值为：E（C10）=C00+pQ（4）

整个订货周期的期望总成本为：

C（Q1，n）=++

+cCc+pc（1-α）+pp（1-β）+（5）

对C（Q1，n）求极小值的条件为：

=--=0（6）

=-+

=0（7）

（4）结论。当83（C00+pQ1）（nC0+C00）>（d-2+c）h1n4Q+2n2Q2C00时，式（5）存在唯一极小值点。

证明：根据二元函数的凸性相关定义，只需求证C（Q1，n）的Hesse矩阵正定即可：

H=++

由于>0，且│H│=83（C00+pQ1）（nC0+C00）-（d-2+c）h1n4Q-2n2Q2C00>0，所以C（Q1，n）是正定的，即式（5）存在唯一极小值点。

综上，可得出模型的最优解：

Q=

将此式代入（6）式便可求出n。

三、算例测试

假设某销售商的某产品的外部参数为：=5，d=20，α=0.9，β=0.9，h1=3，h2=4，p=0.6，c=0.4，Cc=2（元/件），C0=15（元/次），C00=100（元/次），p=20（元/件），利用本文建立的模型可知，每当退回产品累积到4件时，销售商就集中处理处理一次，每次订货40件，此时的订货成本为459元；然而，将上述数据输入赵道致（2007）模型中，得到订货成本为493元，该结果大于本文中模型求解结果。因此，本文中提出的模型不但更加符合经济发展规律，而且能够大幅度减少逆向物流成本。有制造商参与逆向物流时，对销售商和消费者均更有利。

四、结论与讨论

本文讨论了在允许消费者退货的条件下，退回产品由销售商和制造商共同参与批量处理的库存模型，并得出了模型最优解。但由于该模型只讨论了单一产品的库存模型，在产品多样化的今天，很少有厂家只生产一种产品，因此退回的产品也应是多样的，这使模型的实用范围受到局限。在今后的研究中，应将对多品种货物处理的单位成本进行更深入的思考。

（注：本文得到国家自然科学基金项目70472075；江西省自然科学基金项目2007GZS0898；江西省教育厅科技项目2007-183资助。）

【参考文献】

[1] Simpson V.p.， Silver E.A.： Optimum Solution Structure For a Repairable Inventory Problem Operations Research [J].1978，26（2）.

[2] Moritz Fleisehmann， Roelof Kuik， Rommert Kekker.：Controlling inventories with stochastic tem returns：A basic model[J].European Journal Of Operational Research，2002（138）.

[3] B.Mahadevan， David F.Pyke， Moritz Fleischmann：Periodic review， puch inventory policies for remanufacturing[J].European Journal of Operational Research，2003（151）.

[4] Kiesmuller：A new approach for controlling a hybrid stochastic manufacturing / remanufacturing system with inventories and different leadtimes[J].European Journal of Operational Research，2003（147）.

[5] 黄祖庆、达庆利、王冬冬：逆向物流具有时滞的一个EOQ扩展订货模型[J].物流技术，2004 （5）.

[6] 达庆利、黄祖庆、张钦：逆向物流系统结构研究的现状及展望[J].中国管理科学，2004（12）.

[7] 赵道致、詹燕、霍艳芳：基于累积批量处理的逆向物流最优库存控制研究[J]系统工程理论与实践，2007（4）.

[8] 陈景良、陈向晖：特殊矩阵[M].北京：清华大学出版社，1996.

（责任编辑：刘美言）